二次関数の最大値問題では、定義域が「0≦x≦a」のように制限されている場合、グラフの形と端点・頂点の位置関係を正しく考えることが重要です。本記事では y＝x²−2x−1 の最大値の求め方を、区間付きの典型問題として整理して解説します。
関数の基本形とグラフの特徴
y＝x²−2x−1は上に開いた放物線で、係数が正なので最小値を持つ関数です。
このため最大値は区間の端点で決まることが多くなります。
まずは頂点の位置を把握することが重要です。
頂点の座標を求める
y＝x²−2x−1を平方完成すると、y＝(x−1)²−2となります。
このことから頂点はx＝1のときで、最小値は−2になります。
したがって最大値は頂点ではなく区間端で考える必要があります。
区間0≦x≦aでの考え方
最大値は「x＝0」と「x＝a」のどちらかで決まります。
なぜなら放物線は下に向かって開いているのではなく上に開いているため、頂点は最小値だからです。
したがって端点比較が基本戦略になります。
端点での値を比較する
x＝0のとき y＝−1になります。
x＝aのとき y＝a²−2a−1になります。
この2つを比較して大きい方が最大値となります。
場合分けの考え方
aの値によってはx＝0側が大きい場合とx＝a側が大きい場合があります。
境界は a²−2a−1＝−1 を解くことで判断できます。
整理すると a(a−2)＝0 となり、a＝0またはa＝2が分岐点です。
まとめ
二次関数の最大値問題では、頂点と端点の位置関係を正しく理解することが重要です。
今回の関数では最大値は区間の端点で比較して求めます。
場合分けを意識することで、区間付き二次関数の問題にも対応できるようになります。
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