整数条件の問題では「割り切れる条件」を正しく整理することが重要になります。本記事では、nが自然数のときに n/12 と 360/n の両方が整数になるようなnの個数について、考え方の流れをわかりやすく整理して解説します。
問題の条件を整理する
まず条件は次の2つです。
① n/12 が整数 → nは12の倍数
② 360/n が整数 → nは360の約数
つまり「12の倍数であり、360の約数である自然数n」を探す問題です。
条件を数学的に言い換える
n = 12k（kは自然数）とおくと、これを360の約数条件に代入します。
360 / (12k) が整数 → 30 / k が整数
したがって k は30の約数である必要があります。
kの条件を求める
30の正の約数は次の通りです。
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
この8個がそのままkの候補になります。
nの値を求める
n = 12k なので、それぞれ代入すると次のようになります。
12, 24, 36, 60, 72, 120, 180, 360
したがって条件を満たすnは8個存在します。
別解：素因数分解による考え方
360 = 2^3 × 3^2 × 5 と分解できます。
nは12 = 2^2 × 3 を含む必要があるため、指数の範囲を調整しながら約数を絞り込む方法でも解けます。
この方法は応用問題にも有効です。
まとめ
n/12と360/nがともに整数になる条件は「nが12の倍数かつ360の約数」であることです。
これを整理するとnは8個存在し、具体的には12, 24, 36, 60, 72, 120, 180, 360となります。
条件を「倍数」と「約数」に分解して考えるのがポイントです。
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