楕円曲線暗号でQ=nPからPは求められる？離散対数問題と復元の可否を解説

楕円曲線上の点Pに対して整数n倍をとったQ=nPが与えられたとき、Qとnだけから元のPを復元できるのかという問題は、楕円曲線暗号（ECC）の安全性そのものに関わる重要なテーマです。本記事では、その計算の可否と背景にある数学的構造について整理します。

楕円曲線におけるnPの意味

楕円曲線上の演算では、点Pに対して「n倍する」という操作は、幾何学的な加算を繰り返すことを意味します。

この操作はスカラー倍と呼ばれ、P + P + … + P（n回）として定義されます。

計算自体は比較的効率的に行うことができますが、逆方向の計算は本質的に難しい問題になります。

Q=nPが既知で、nも分かっている場合、一見するとPは簡単に求められそうに見えます。

しかし楕円曲線上では、通常の整数のような「割り算」に相当する操作が直接定義されていません。

そのため単純にQをnで割るような方法ではPを復元することはできません。

この問題は楕円曲線離散対数問題（ECDLP）と密接に関係しています。

通常はQとPが既知でnを求める問題として定式化されますが、逆にPを求める場合でも構造は同様に困難です。

有限体上の楕円曲線では、計算量的に実用的な方法で逆算するアルゴリズムは知られていません。

nが分かっている場合でも、QからPを直接求めるには「逆スカラー倍」の問題を解く必要があります。

これは群構造上の写像を逆にたどることに相当し、一般には効率的な方法が存在しません。

特に暗号で使われるサイズの楕円曲線では、総当たりも現実的ではありません。

楕円曲線暗号は、この「逆に計算することの困難さ」を安全性の基盤としています。

したがって、Q=nPからPを求めることが容易であれば、暗号は成立しません。

実際には、nやPが十分に大きい場合、現在の計算技術では復元は困難とされています。

Q=nPとnが既知であっても、楕円曲線上でPを効率的に復元する一般的な方法は知られていません。

この困難さは離散対数問題に由来し、楕円曲線暗号の安全性の根幹を支えています。

そのため実用的な暗号設定では、Pの復元は現実的に不可能と考えられています。