二次方程式の解がすべて整数であるという条件は、高校受験でも頻出のテーマです。本記事では、二つの二次方程式がともに整数解を持つときの条件を利用して、nm²の最小値を求める問題を解説します。難関高校受験生でも取り組めるように、解と係数の関係を中心に考えていきます。
問題の確認
正の整数m,nについて、次の二次方程式がともにすべて整数解を持つとします。
x²+mx+m+1=0
x²+nx+n+55=0
このとき、nm²の最小値を求めます。
1つ目の二次方程式を考える
1つ目の方程式の整数解をa,bとします。
解と係数の関係より、
a+b=-m
ab=m+1
となります。
ここでm=ab-1を上式に代入すると、
a+b=-(ab-1)
すなわち
ab+a+b=1
となります。
両辺に1を加えると、
(a+1)(b+1)=2
を得ます。
mの値を求める
整数の組で積が2となる組を調べます。
| a+1 | b+1 |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 1 |
| -1 | -2 |
| -2 | -1 |
これより(a,b)は
(0,1),(1,0),(-2,-3),(-3,-2)
となります。
mは正の整数なので、ab=m+1より負の解の組を採用します。
a=-2,b=-3のとき
ab=6=m+1
よって
m=5
となります。
2つ目の二次方程式を考える
整数解をc,dとします。
解と係数の関係より
c+d=-n
cd=n+55
です。
n=cd-55を代入すると
c+d=-(cd-55)
より
cd+c+d=55
となります。
両辺に1を加えると
(c+1)(d+1)=56
を得ます。
nの最小値を求める
56の正の約数の組を調べます。
| c+1 | d+1 | n=cd-55 |
|---|---|---|
| 1 | 56 | -55 |
| 2 | 28 | -28 |
| 4 | 14 | -16 |
| 7 | 8 | -13 |
正の整数nになりません。
そこで両方負の場合を考えます。
(c+1,d+1)=(-2,-28)のとき
c=-3,d=-29
となり、
cd=87
よって
n=87-55=32
です。
他の負の約数の組を調べると、これが最小の正のnとなります。
nm²を計算する
m=5、n=32なので
nm²=32×5²
=32×25
=800
となります。
まとめ
この問題のポイントは、解と係数の関係から式変形して因数分解の形に持ち込むことです。
(a+1)(b+1)=2、(c+1)(d+1)=56という形を作ることで、整数解の候補を約数の組として調べられます。
その結果、m=5、n=32となり、求める最小値は800です。
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