漸化式の定数項と特性方程式の扱い方：an＋1＝2an＋3n−1の例から学ぶ

漸化式を解く際、定数項を含む場合の扱いは少し注意が必要です。特性方程式は基本的に同次の漸化式に対して用いられるため、非同次の定数項は直接特性方程式に入れず、まずは同次部分だけで特性方程式を立てます。

同次と非同次に分ける理由

漸化式 an＋2−3an＋1＋2an＝3 のように右辺に定数がある場合、まずは右辺を0にして同次式として特性方程式を作ります。この同次式の解が漸化式の一般形の基礎となります。

非同次の定数項は別途、特解を求めることで対応します。定数項に対しては、通常は定数の形の特解を試すのが一般的です。

具体的な手順

• 与えられた漸化式を同次部分と非同次部分に分ける。
• 同次部分の特性方程式を作る：r²−3r＋2＝0など。
• 特性方程式を解いて同次解を求める。
• 非同次の定数項に対して定数の特解を仮定して代入し、値を決定する。
• 同次解と特解を合わせて一般解を構成する。

なぜ無視しても上手くいったように見えるか

特性方程式だけで解くと、非同次項は一時的に無視されますが、最後に初期条件や定数項を組み込む段階で正しい形に補正されます。そのため、途中でうまく計算できたように見える場合がありますが、厳密には特解の計算を忘れないことが重要です。

まとめ

漸化式を特性方程式で解く場合、定数項は同次部分には含めず、まず同次式の解を求めます。その後、非同次項に対する特解を加えることで完全な解が得られます。途中で定数項を無視しても計算が進む場合がありますが、最終的には特解を含めることが正確な解への鍵です。