数学的帰納法で1+3+5+…+(2n-1)=n²を証明する正しい手順

数学的帰納法を用いて1+3+5+…+(2n-1)=n²を証明する際、k+1=nの場合に右辺同士や左辺同士を引いて確認する方法は正しい帰納法の手順とは言えません。帰納法では、まず基礎の場合を確認し、次に帰納ステップで仮定から結論を導く明確な手順が必要です。

基礎の場合の確認

n=1の場合、左辺は1、右辺も1²=1で成立します。この基礎の場合を確認することが数学的帰納法の第一歩です。

次に、n=kのとき式が成立すると仮定します。すなわち、1+3+…+(2k-1)=k²が成り立つとします。

n=k+1のときの左辺は1+3+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)です。帰納法の仮定を用いると、この左辺はk²+(2k+1)となり、これを計算すると(k+1)²になります。これでn=k+1でも成立することが示せます。

重要なのは、帰納法では仮定(n=kで成立)から、明示的にn=k+1の式を導くことです。単に右辺や左辺を引いて結果を確認するだけでは証明として不十分であり、正しい手順を踏むことが必要です。