広義積分 ∫[0,1] logx/√(1−x²) dx の収束判定と計算方法｜置換積分とベータ関数を使った解法

広義積分では、まず積分区間内で被積分関数が発散する点を確認し、その後に収束判定を行います。さらに収束が確認できた場合は、適切な置換積分や特殊関数の性質を利用して値を求めます。ここでは、∫[0,1] logx/√(1−x²) dx の収束判定と具体的な計算手順を詳しく解説します。

まずは広義積分であることを確認する

対象となる積分は

I=∫[0,1] logx/√(1−x²) dx

です。

x=0ではlogx→−∞となるため特異点があります。

またx=1では√(1−x²)→0となります。

したがって、この積分は両端に特異性を持つ広義積分です。

収束判定を行う

まずx→0について調べます。

このとき

√(1−x²)→1

なので被積分関数はlogxと同程度になります。

一方、

∫[0,1] |logx| dx =1

は収束するため、x=0付近では可積分です。

次にx→1について調べると、

1−x²=(1−x)(1+x)≈2(1−x)

より

1/√(1−x²) は 1/√(1−x) と同程度になります。

√型特異点は指数が1/2であり、

∫[a,1] dx/√(1−x)

は収束します。

したがって元の広義積分は収束します。

三角置換で積分を変形する

x=sinθ と置換します。

すると

dx=cosθdθ

√(1−x²)=cosθ

となります。

また積分区間は

なので、

I=∫[0,π/2] log(sinθ)dθ

に変形されます。

有名積分を利用して値を求める

次の公式は解析学でよく知られています。

∫[0,π/2] log(sinθ)dθ=−(π/2)log2

この公式はベータ関数やガンマ関数の微分によって証明できます。

したがって直ちに

I=−(π/2)log2

が得られます。

ベータ関数を使った別解の考え方

より発展的には

F(a)=∫[0,1] x^(a−1)/√(1−x²) dx

を考え、aで微分する方法があります。

このとき微分によってlogxが現れるため、元の積分がF'(1)として計算できます。

大学レベルの解析学では、この方法がベータ関数とガンマ関数の応用例として扱われることがあります。

まとめ

積分 ∫[0,1] logx/√(1−x²) dx は、x=0とx=1に特異点を持つ広義積分ですが、両端とも可積分であるため収束します。

x=sinθ の置換によって ∫[0,π/2] log(sinθ)dθ に変形でき、有名積分の公式を用いることで値を求められます。

最終結果は

∫[0,1] logx/√(1−x²) dx = −(π/2)log2

となります。