関数x^2-2x-1の最大値・最小値の求め方｜区間0≦x≦aでの計算手順

区間[0, a]で定義された二次関数 f(x)=x^2-2x-1 の最大値と最小値を求める方法を解説します。中学・高校の範囲で理解できる手法として、頂点の利用と区間端点の評価を行います。

二次関数の形と頂点

f(x)=x^2-2x-1 は二次関数で、一般形は f(x)=ax^2+bx+c です。ここで a=1 > 0 なので、放物線は上に凸です。

二次関数の最大・最小を求めるときは、まず頂点を確認します。

頂点の x 座標は x_v=-b/(2a)= -(-2)/(2*1)=1

頂点の y 座標は f(1)=1^2-2*1-1=-2

区間端点の値を評価

区間は 0≦x≦a です。二次関数の最小値は頂点付近に現れますが、頂点が区間内か外かで処理が変わります。

f(0)=0^2-2*0-1=-1

f(a)=a^2-2a-1

頂点の位置による場合分け

1. 頂点 x_v=1 が区間内 (0≦1≦a の場合)

• 最小値 f(1)=-2
• 最大値は端点のいずれか f(0)=-1 または f(a)=a^2-2a-1 を比較して決定

2. 頂点が区間外左側 (a<1)

• 最小値は f(a) もしくは f(0) の小さい方
• 最大値は f(0)

3. 頂点が区間外右側 (0>1 はあり得ないが、一般の場合)

同様に区間端点を評価

具体例

例: a=2 の場合

f(0)=-1, f(1)=-2, f(2)=4-4-1=-1

区間内最小値は f(1)=-2, 最大値は f(0)=f(2)=-1

まとめ

区間 [0, a] で二次関数 f(x)=x^2-2x-1 の最大値・最小値を求める手順は以下です。

1. 頂点を求める x_v=-b/(2a)
2. 頂点が区間内か外かを確認
3. 区間内に頂点がある場合、最小値は f(x_v)
4. 最大値は区間端点 f(0), f(a) の大きい方
5. 頂点が区間外の場合は、最大・最小値は端点のいずれか

これにより、aが正の定数であっても簡単に最大値と最小値を求めることができます。