三次方程式が二重解を持つ条件と重解の考え方

三次方程式の二重解を考える際、因数分解を用いて解析することが有効です。本記事では、x^3+(a-2)x^2-4a=(x-2)(x^2+ax+2a)の形を例に、二重解の条件と注意点を解説します。

重解の定義と条件

二重解とは、同じ値を2回解として持つ場合を指します。例えばf(x)=x^2+ax+2aがx≠2で重解を持つ場合、判別式D=0が成立することが条件です。

このとき、重解はx=-a/2で表されます。

仮に2^2+2a+2a≠0とすると、x=2が重解かどうかの判定になります。しかし今回はx≠2の重解を求める設定なので、x=2を除外して条件を設定します。

つまり、x=2はすでに一次因数(x-2)として分解されているため、重解条件の判定には含めないのです。

重解の値が一次因数と重なる場合、二重解としてカウントされません。

今回の設定では重解がx=-a/2で、x=2と一致しないことが必要です。したがって、重解-a/2≠2という条件を付けます。

1. f(x)=x^2+ax+2aの判別式Dを求めます。

2. D=0を解いて重解の条件を導きます。

3. その重解がx=2と一致しないか確認します。これにより、x≠2の二重解の条件が明確になります。

三次方程式が二重解を持つ条件を調べる際、一次因数で除外された値(x=2)を考慮せず、判別式から重解の値が一次因数と重ならないことを確認する必要があります。これにより、正しい二重解の条件を導くことができます。