水平投射や斜方投射を学習していると、「v-t図（速度-時間グラフ）は1つで表せるのか」「速度の合力は求められるのか」と疑問に思うことがあります。実は投射運動では速度を水平方向と鉛直方向に分けて考えることが重要であり、その理解がv-t図や速度の合成を正しく読み解く鍵になります。この記事では、水平投射と斜方投射におけるv-t図の考え方と、速度の合成方法について解説します。
投射運動では速度を成分に分けて考える
水平投射も斜方投射も、運動そのものは2次元運動です。そのため速度は通常、x方向（水平）とy方向（鉛直）の成分に分けて扱います。
空気抵抗を無視すると、水平方向には力が働かないため速度は一定です。一方で鉛直方向には重力加速度gが働くため、速度は時間とともに変化します。
| 方向 | 速度の変化 |
|---|---|
| 水平方向 | 一定 |
| 鉛直方向 | 時間に比例して変化 |
このため、多くの教科書ではvx-t図とvy-t図を別々に描いて説明しています。
水平投射のv-t図はどうなるのか
水平投射では初速度は水平方向のみです。したがって、水平方向速度vxは常に一定となります。
一方、鉛直方向速度vyは初め0で、時間とともにgの割合で増加します。
例えば初速度が10m/sの場合、vx=10m/sは一定ですが、vy=gtとなるため、vy-t図は原点を通る直線になります。
つまり水平投射では、水平成分は横一直線、鉛直成分は傾いた直線として表されます。
斜方投射のv-t図はどうなるのか
斜方投射では初速度を水平成分v0cosθと鉛直成分v0sinθに分解します。
水平方向速度は変わらないため、vx-t図は水平投射と同じく一定です。
鉛直方向速度は時間とともに減少し、最高点で0になった後、負の値へ変化します。
そのためvy-t図は傾き-gの直線となり、時間軸を横切る特徴的なグラフになります。
1つのv-t図で表すことは可能か
結論からいうと、速度の大きさだけを扱うなら1つのv-t図で表すことは可能です。
ただし、その場合の速度vはベクトルの大きさであり、次の式で求めます。
v＝√(vx²＋vy²)
ところがvyが時間によって変化するため、v-t図は直線ではなく曲線になります。
高校物理では運動の仕組みを理解しやすくするため、通常はvx-t図とvy-t図を別々に描く方法が採用されています。
速度の合成は数値として求められる
速度の合成はベクトルの合成として計算できます。
例えば水平速度が8m/s、鉛直速度が6m/sの場合、合成速度の大きさは次のようになります。
v＝√(8²＋6²)=√100=10m/s
このように、三平方の定理を利用して瞬間ごとの速度の大きさを求めることができます。
また進行方向は、tanθ=vy/vxから計算できます。
合力と合成速度は別物に注意
質問でよく混同されるのが「合力」と「合成速度」です。
速度は運動の状態を表す量であり、力とは異なります。
投射運動で空気抵抗を無視する場合、物体に働く力は重力だけなので、合力は常にmgとなります。
つまり時間によって変化するのは速度であり、力そのものは一定です。
合成速度は求められますが、合力は常に重力のみという点を区別することが大切です。
まとめ
水平投射と斜方投射では、水平方向速度は一定、鉛直方向速度は重力によって変化します。そのためv-t図は通常、x方向とy方向に分けて描かれます。
一方で、速度の大きさだけを扱うなら1つのv-t図として表現することも可能です。ただしその場合は直線ではなく、vxとvyを合成した曲線になります。
また、速度の合成は三平方の定理によって数値として求められますが、合力は空気抵抗を無視すれば常に重力mgだけです。速度と力を区別して考えることで、投射運動の理解がより深まるでしょう。
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