ベクトルの内積と斜辺・底辺の関係を理解する：hをなぜbに代入するのか解説

ベクトルの内積を学ぶときに、なぜ斜辺の大きさ|b|に対して底辺|h|を使うのか戸惑うことがあります。この記事では、直感的に理解できる図形的な考え方と数学的な理由を中高生向けにわかりやすく解説します。

内積の定義とコサインの関係

ベクトルaとbの内積は次の式で定義されます。

a·b = |a||b|cosθ

ここでθはベクトルaとbのなす角です。cosθを用いる理由は、aの方向に沿ったbの投影の長さを表すためです。

ベクトルaに対して、bの成分のうちaの方向に沿っている部分を投影と呼びます。この投影の長さを|h|とすると、直角三角形の関係から次のように表せます。

|h| = |b| cosθ

つまり、bの長さにコサインを掛けることで、aの方向に対応するbの成分が求められます。

内積はaとbの大きさだけでなく、bがaの方向にどれだけ伸びているかを掛け算しています。投影|h|はまさにa方向に伸びているbの部分を表すので、次の式に置き換えられます。

a·b = |a||b| cosθ = |a||h|

ここで、|h| = |b|cosθを代入しているのは、bのベクトル全体ではなく、aの方向に沿った成分だけを考慮しているからです。

ベクトルaとbを紙に描き、bからaに垂線を下ろすと、その交点までの距離が|h|です。この距離を使うことで、内積の値を簡単に計算できます。

言い換えると、bをa方向に射影した高さが|h|であり、それを|a|と掛けることで面積的な内積を求めているイメージです。

・内積a·b = |a||b|cosθは、bをa方向に射影した|h|を使うとa·b = |a||h|と書ける。
・|h| = |b|cosθはbのa方向の成分の長さ。
・代入する理由は、内積がを表すから。

図形的に理解すると、なぜbにhを代入するのかが直感的にわかります。