大学入試の数学では、二次方程式や高次方程式が重解をもつ条件を利用する問題が頻繁に出題されます。その際によく使われるのが「Q(x)=0が重解αをもつ ⇔ Q(α)=0かつQ'(α)=0」という条件です。この記事では、この条件がなぜ成り立つのか、入試で証明なしに用いてよいのか、そして実際の問題でどのように活用されるのかを解説します。
重解とは何か
方程式Q(x)=0が重解αをもつとは、αが2回以上現れる解であることを意味します。
例えば、Q(x)=(x-2)2=x2-4x+4の場合、x=2は重解です。
一般に、二次式が重解αをもつならば、Q(x)は次の形に表せます。
Q(x)=a(x-α)2
ここでaは0でない定数です。
なぜQ(α)=0かつQ'(α)=0になるのか
Q(x)=a(x-α)2を微分すると、
Q'(x)=2a(x-α)
となります。
x=αを代入すると、
- Q(α)=0
- Q'(α)=0
が同時に成立します。
つまり重解では、グラフがx軸と接するため、関数値だけでなく接線の傾きも0になるのです。
逆にQ(α)=0かつQ'(α)=0なら重解なのか
多項式Q(x)について、Q(α)=0であれば(x-α)を因数にもっています。
さらにQ'(α)=0も成立すると、(x-α)が2回以上現れることが示されます。
したがって、
Q(α)=0かつQ'(α)=0 ⇔ αは重解
が成立します。
これは二次式だけでなく、一般の多項式でも成り立つ重要な定理です。
大学入試で証明なしに使ってよいのか
結論から言うと、多くの大学入試ではこの事実は基本事項として扱われており、証明なしで使用して問題ありません。
実際に、重解条件を利用して文字定数を求めたり、重解をもつ条件を求めたりする問題では、この関係式を前提として解答することが一般的です。
特に微分法を学習済みの範囲では、採点者もこの条件の利用を自然な解法として認識しています。
判別式との関係
二次方程式の場合は判別式D=b2-4acを用いる方法もあります。
| 方法 | 重解条件 |
|---|---|
| 判別式 | D=0 |
| 微分利用 | Q(α)=0かつQ'(α)=0 |
二次式だけなら判別式が最も簡単な場合もありますが、高次式や文字が多い問題では微分を利用する方法の方が有効なことがあります。
入試での典型例
例えばQ(x)=x3-3x+aが重解をもつようなaを求める問題を考えます。
Q'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)
重解候補はx=1またはx=-1です。
これらをQ(x)に代入することでaを求められます。
このように、高次方程式では判別式よりもQ(α)=0かつQ'(α)=0を使う方が圧倒的に便利なケースが多くあります。
まとめ
「Q(x)=0が重解αをもつ ⇔ Q(α)=0かつQ'(α)=0」は、多項式の重解判定として広く知られた基本定理です。
大学入試では通常、証明なしで利用して問題ありません。特に微分法を用いる問題では頻出の考え方であり、判別式と並ぶ重要な武器となります。
二次式ではD=0、高次式ではQ(α)=0かつQ'(α)=0という使い分けを意識すると、多くの入試問題を効率よく解くことができます。
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