不等式「-1≦x²sinα＋ycosβ≦1」の領域と面積を求める方法を解説

不等式で表される領域の面積を求める問題では、まず図形的な意味を理解することが重要です。今回は「-1≦x²sinα＋ycosβ≦1」が表す領域について考えます。ただし、この問題はαとβの値によって領域の形や面積が変化するため、一般式のままでは一意に面積を求めることができません。

与えられた不等式を整理する

不等式は次のように書かれています。

-1≦x²sinα＋ycosβ≦1

ここで、cosβ≠0と仮定すると、yについて解くことができます。

（-1-x²sinα）/cosβ≦y≦（1-x²sinα）/cosβ

この式は、2本の放物線に挟まれた領域を表しています。

上側の境界と下側の境界の差を求めると、

[(1-x²sinα)-(-1-x²sinα)]/cosβ

=2/cosβ

となります。

つまり、縦方向の幅は一定です。

ここで重要なのは、xの範囲に制限が与えられていないことです。

xは任意の実数を取ることができるため、領域は左右に無限に広がります。

例えばα=30°、β=60°であっても、xの値をどれだけ大きくしても条件を満たすyが存在します。

したがって領域は無限に続いています。

面積Aを積分で表すと、

A=∫(-∞→∞)(2/|cosβ|)dx

となります。

積分区間が無限区間であり、被積分関数も正の定数なので、この積分は発散します。

つまり有限な値にはなりません。

もしcosβ=0であれば、不等式は

-1≦x²sinα≦1

となり、別途xの範囲を求める問題になります。

また、問題文に「x,yがある範囲内にある」などの条件が省略されている場合は、その条件によって面積が有限になる可能性があります。

不等式「-1≦x²sinα＋ycosβ≦1」が表す領域は、cosβ≠0の場合、2本の放物線に挟まれた無限に広がる帯状の領域になります。

xに制限がないため領域は左右に無限に続き、面積は有限値を持ちません。

したがって、この条件だけから求まる領域の面積は無限大です。