広義積分 ∫[0,1] dx/√(x(1-x²)) の収束判定｜端点の挙動から考える方法

広義積分の収束判定では、被積分関数が発散する点の挙動を確認することが重要です。ここでは ∫[0,1] dx/√(x(1-x²)) の収束判定を、端点付近の近似と比較判定法を使って解説します。

積分が広義積分になる理由

積分の被積分関数は

f(x)=1/√(x(1-x²))

です。

x=0 では f(x) は 1/√x の形で無限大に発散し、x=1 では f(x) は 1/√(1-x²) = 1/√((1-x)(1+x)) の形で無限大に発散します。したがって、この積分は広義積分です。

x→0 のとき、1-x² ≈ 1 なので

f(x) ≈ 1/√x

となります。比較対象の積分 ∫[0,a] dx/√x は有限値に収束します。したがって、x=0 付近で収束します。

x→1 のとき、1-x² = (1-x)(1+x) ≈ 2(1-x) です。

したがって f(x) ≈ 1/√(2(1-x)) = 1/√2 · 1/√(1-x)

となります。比較対象の積分 ∫[b,1] dx/√(1-x) は有限値に収束します。よって x=1 付近でも収束します。

0<x<1 の範囲では x(1-x²) は正で連続なので、積分は有限値を取ります。端点付近の収束を確認できたため、積分全体も収束すると言えます。

積分 ∫[0,1] dx/√(x(1-x²)) は x=0 と x=1 で被積分関数が発散しますが、それぞれ端点付近の挙動は既知の収束積分に対応します。したがって、この広義積分は収束すると判定できます。