不定積分 ∫e^x((1-x)/(1+x²))²dx の解法とステップ解説

不定積分 ∫e^x((1-x)/(1+x²))²dx は、一見複雑ですが、適切な置換と微分の法則を使うことで解くことができます。この記事では、ステップごとに解法の考え方と手順をわかりやすく解説します。

ステップ1：置換を考える

まず、分数 (1-x)/(1+x²) の微分を確認して、置換に使える形を探します。

関数 u = (1-x)/(1+x²) と置くと、その微分 du = -[(1+x²)+2x(1-x)]/(1+x²)² dx = -[(1-x)²+…]/(1+x²)² dx の形になることが分かります。

∫e^x((1-x)/(1+x²))² dx の中に (1-x)/(1+x²) の2乗があるので、u² e^x dx の形に置換できるように微分を調整します。

ここで e^x は外に残し、u² du 形式にすると積分が可能です。

u = (1-x)/(1+x²) とすると、du と dx を組み合わせて積分を行います。

この置換により、積分は ∫ e^x (-du)² = ∫ e^x du² の形に変形され、標準的な積分公式を適用可能です。

積分結果を u で表した後、再び x の式に戻します。

これにより、最終的な不定積分の答えは e^x に係数や関数を組み合わせた形で表現されます。

∫e^x((1-x)/(1+x²))² dx を解く際のポイントは、

ステップを順番に追うことで、複雑な形の積分でも体系的に解くことができます。