特殊相対性理論は、光速に近い速度で運動する物体の時間や距離の見え方が変わることを説明する物理理論です。身近な例としては高速で移動する宇宙船や粒子の運動が挙げられますが、基礎的な計算も学ぶことで、日常では経験しにくい時間の相対性を理解できます。本記事では、初歩的な例題を使って、異なる速度で動く物体の時間がどう見えるかを解説します。
問題設定の整理
3本の平行な直線上に、A、B、Cの3つの時計があります。Aから見てBは光速の0.4倍、Cは0.8倍の速度で右方向に移動しています。すべての時計は最初に0時です。Bの時計が1秒進んだときにAから見た各時計の時刻を求める問題です。
この状況では、特殊相対性理論の時間の遅れ（タイム・ディレーション）を用います。物体が速度vで運動すると、その物体の時計は静止している観測者から見て遅れる現象です。
タイム・ディレーションの公式
タイム・ディレーションは次の式で表されます。
t = t’ / √(1 – v²/c²)
ここで、tは静止観測者から見た時間、t’は運動する物体の固有時間、vは物体の速度、cは光速です。
この公式により、BやCの時計が1秒進む間にAから見た時間を計算できます。
Bの時計1秒進行時のAから見た時間
Bの速度はv = 0.4cなので、固有時間t’ = 1秒として、Aから見た時間t_Bは次のように計算します。
t_B = 1 / √(1 – 0.4²) = 1 / √(0.84) ≈ 1.091秒
この値がBから見て1秒経過したときに、Aから見たBの時計の進み具合です。
一方、Aの時計は静止しているため、A自身の時刻は運動していないので、1.091秒が経過した時刻として表示されます。
Cの時計の時刻を求める
Cは速度v = 0.8cで移動しています。Bから見て1秒進んだときのAから見たCの時間を求めるには、まずBから見たCの相対速度を求めます。
相対速度の合成は特殊相対性理論により次の式で表されます。
u = (v_C – v_B) / (1 – v_C*v_B/c²) = (0.8c – 0.4c) / (1 – 0.32) = 0.4c / 0.68 ≈ 0.588c
この速度を用いてタイム・ディレーションを計算すると、Aから見たCの時間は約1.191秒となります。
まとめと理解のポイント
特殊相対性理論では、運動する物体の時間は静止観測者から見ると遅れることがわかります。
今回の例では、Bの時計が1秒進んだときに、Aから見たAの時計は約1.091秒、Bの時計は1秒、Cの時計は約1.191秒です。
ポイントはタイム・ディレーションの公式を正しく使い、速度が光速に近い場合には相対速度の合成も考慮することです。これにより、異なる速度で運動する複数の物体の時刻を計算できます。
コメント