数学Iで絶対値を外す際、多くの生徒が迷うのが境界値をどちらの条件に含めるかという問題です。例えば「｜5-x｜」を場合分けするとき、「x≦5とx＞5」にするのか、「x＜5とx≧5」にするのかで悩むことがあります。この記事では、絶対値の定義から一般的な場合分けの考え方まで詳しく解説します。
絶対値の定義を確認しよう
絶対値は次のように定義されています。
| 条件 | |A|の値 |
|---|---|
| A≧0 | A |
| A＜0 | -A |
この定義を見ると、0は「A≧0」の側に含まれていることがわかります。
そのため、A=5-xとおけば、「5-x≧0」と「5-x＜0」で分ける方法は絶対値の定義そのものに対応しています。
｜5-x｜を場合分けしてみる
実際に定義に従って場合分けすると次のようになります。
(i) 5-x≧0、すなわち x≦5 のとき
｜5-x｜=5-x
(ii) 5-x＜0、すなわち x＞5 のとき
｜5-x｜=-(5-x)=x-5
したがって、
｜5-x｜=
{ 5-x （x≦5）
{ x-5 （x＞5）
と表せます。
逆の分け方でも間違いではない
一方で、
(i) 5-x＞0（x＜5）
(ii) 5-x≦0（x≧5）
という分け方を見かけることもあります。
この場合は境界値であるx=5を後半に含めていますが、x=5のときはどちらの式を使っても結果は0になるため、数学的には問題ありません。
つまり、境界値をどちらに含めるかは自由ですが、重複や漏れがなければ正しい場合分けになります。
一般的によく使われるのはどちらか
教科書や参考書では、絶対値の定義をそのまま利用して
A≧0 のとき A
A＜0 のとき -A
という形で説明されることが多いため、
x≦5 と x＞5
のような分け方のほうが一般的です。
特に初学者は絶対値の定義と対応関係が分かりやすいため、この方法を採用するのがおすすめです。
場合分けで注意したいポイント
重要なのは「どちらを使うか」よりも、条件に漏れや重なりがないことです。
| 良い例 | 理由 |
|---|---|
| x≦5 と x＞5 | 重複も漏れもない |
| x＜5 と x≧5 | 重複も漏れもない |
逆に、
- x＜5 と x＞5
- x≦5 と x≧5
のような分け方は、x=5が漏れたり重複したりするため適切ではありません。
場合分けでは「全ての場合をちょうど一度だけ扱う」ことが大切です。
まとめ
｜5-x｜の絶対値を外す場合、「x≦5とx＞5」でも「x＜5とx≧5」でも数学的には正しい場合分けです。ただし、絶対値の定義が「A≧0」と「A＜0」で書かれているため、教科書や参考書では「x≦5とx＞5」の形がより一般的に使われます。試験や演習では、境界値の扱いに注意しながら、条件の重複や漏れがない場合分けを心掛けることが重要です。
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