今回は高校数学でよく出る極限問題、lim[n→∞](e^n-[e^n]) の計算について解説します。ここで [x] は x の整数部分を表しています。
問題の確認
求める極限は次の通りです。
lim_{n→∞} (e^n – [e^n])
ここで、[e^n] は e^n 以下の最大の整数です。
整数部分と小数部分の関係
任意の実数 x に対して、x = [x] + {x} という形に分けられます。ここで {x} は x の小数部分で、0 ≤ {x} < 1 です。
よって、e^n – [e^n] = {e^n} となります。
小数部分の性質
{e^n} は常に 0 以上 1 未満の値です。n が無限大に近づいても、小数部分 {e^n} は 0 と 1 の間で変動し続けます。
つまり、{e^n} は単調に収束する値を持たず、極限として定まる値はありません。
結論
したがって、lim_{n→∞} (e^n – [e^n]) は存在せず、不定形です。
ポイントとしては、整数部分を引くことで小数部分が残ること、小数部分は n が大きくなっても周期的に分布しているため、極限は定まらないことです。
まとめ
・lim[n→∞](e^n-[e^n]) = lim[n→∞]{e^n} である。
・小数部分 {e^n} は 0 と 1 の間で振動するため極限は存在しない。
・結論：極限は存在せず、不定。
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