数学を学んでいると、y=ax+bは「一次関数」と呼ばれるのに、(x-a)^2+(y-b)^2=r^2は「円の方程式」と呼ばれることに疑問を感じる人も少なくありません。どちらもxとyの関係を表しているように見えるため、「円の関数」と呼んではいけないのか気になるところです。この記事では、方程式と関数の違いを整理しながら、なぜ円は方程式と呼ばれるのかを解説します。
方程式とは何か
方程式とは、未知数を含む等式のことです。
例えばx+3=5やx^2+y^2=25のように、「=」で結ばれた式のうち、その条件を満たす値を求めるものを方程式と呼びます。
円の式である(x-a)^2+(y-b)^2=r^2も、xとyが満たす条件を表した等式なので、数学的には方程式です。
関数とは何か
関数とは、ある値xを決めると、それに対応して値yがただ1つ決まる関係のことです。
例えばy=2x+1では、x=1ならy=3、x=2ならy=5というように、1つのxに対してyが必ず1つだけ定まります。
この性質があるため、y=ax+bは一次関数と呼ばれます。
| x | y=2x+1 |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
円の式が関数にならない理由
円の方程式x^2+y^2=25を考えてみましょう。
x=0を代入すると、y=5とy=-5の2つの値が存在します。
つまり、1つのxに対してyが2つ対応してしまいます。
関数では1つのxに対してyは1つしか対応できないため、円全体は関数とは呼べません。
| x | 対応するy |
|---|---|
| 0 | 5、-5 |
| 3 | 4、-4 |
円を関数として表すことはできるのか
実は円の上半分と下半分に分ければ関数として表せます。
例えば半径5の円なら、上半分はy=√(25-x^2)、下半分はy=-√(25-x^2)と書けます。
この場合は1つのxに対してyが1つしか決まらないため、それぞれは関数です。
しかし円全体を1本の式で表した場合は関数の条件を満たさないため、「円の関数」とは通常呼びません。
グラフで考えると違いが分かりやすい
関数かどうかは縦線テストで確認できます。
グラフ上で任意の縦線を引いたとき、交点が1つなら関数、2つ以上なら関数ではありません。
一次関数のグラフはどの縦線とも1回しか交わりません。
一方で円は多くの場合、縦線と2回交わるため関数とは見なされません。
なぜ高校数学では「円の方程式」と呼ぶのか
高校数学では、図形を表す条件式として円を学びます。
円は「中心からの距離が一定である点の集まり」を表しており、その条件を式にしたものが(x-a)^2+(y-b)^2=r^2です。
つまり、円は関数というよりも図形の条件を表した方程式として扱う方が自然なのです。
まとめ
円の式(x-a)^2+(y-b)^2=r^2は、xとyが満たす条件を表した等式であるため「円の方程式」と呼ばれます。
一方、関数は1つのxに対してyが1つだけ対応する必要があります。円全体では1つのxに対して2つのyが対応することがあるため、通常は関数とは呼びません。上半分や下半分に分ければ関数として表せますが、円全体を表す式としては「円の方程式」という名称が数学的に適切です。
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