中学3年生の式の計算では、文字式の展開を使う問題がよく出ます。今回は \((a-b+1)(a+b+1)\) の計算方法を、途中式を省略せずにわかりやすく解説します。
まずはそのまま展開する
展開とは、かっこの中の項をすべて掛け合わせることです。
(a-b+1)(a+b+1) を順番に計算していきます。
a(a+b+1)-b(a+b+1)+1(a+b+1)
それぞれを計算すると、
=a²+ab+a-ab-b²-b+a+b+1
同類項をまとめる
次に、同じ種類の文字を整理します。
+ab と -ab は打ち消し合います。
+a と +a はありませんが、-b と +b も打ち消し合います。
残るのは、
=a²-b²+a-b+1
別の見方でも解ける
実は、(a-b+1)(a+b+1) は、
{(a+1)-b}{(a+1)+b}
と見ることもできます。
これは、(x-y)(x+y)=x²-y² という公式の形です。
x=a+1、y=b とすると、
=(a+1)²-b²
=(a²+2a+1)-b²
=a²+2a-b²+1
ただし、最初の式変形を間違えると答えが変わるので注意しましょう。
よくあるミス
中学生がよく間違えるポイントは、符号のミスです。
- -b を掛けるときに、すべての符号が変わる
- 最後に同類項をまとめ忘れる
- 途中式を省略しすぎる
特に、負の数の計算を丁寧に行うことが重要です。
計算問題を速く解くコツ
展開問題は、毎回同じパターンを練習すると速く解けるようになります。
| 公式 | 形 |
|---|---|
| (x+y)² | x²+2xy+y² |
| (x-y)² | x²-2xy+y² |
| (x-y)(x+y) | x²-y² |
今回の問題も、途中で公式の形に気づけると計算がかなり楽になります。
まとめ
(a-b+1)(a+b+1) は、展開して同類項を整理すると、a²-b²+a-b+1 になります。
また、展開問題では、途中式を丁寧に書くことがミス防止につながります。公式を覚えるだけでなく、『どの形に当てはまるか』を考える練習も大切です。
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