「3で割り切れる数」「4で割り切れる数」は求められるのに、「どちらでも割り切れない数」になると急に混乱してしまう人は少なくありません。
特にベン図を使う問題では、「どこを引けばいいの？」「どこが残るの？」と頭がこんがらがりやすいです。
この記事では、整数1〜100のうち「3でも4でも割り切れない整数」の個数を、ベン図を使いながら順番にわかりやすく解説します。
まずは「割り切れる数」を整理する
問題は、
1〜100の整数のうち、3で割り切れず、さらに4でも割り切れない整数の個数
を求めるものです。
まずは「割り切れる数」を数えます。
3で割り切れる数
100÷3＝33あまり1
なので、
3の倍数は33個
4で割り切れる数
100÷4＝25
なので、
4の倍数は25個
「両方で割り切れる数」を忘れない
ここで注意が必要です。
3でも4でも割り切れる数、つまり12の倍数は、3の倍数にも4の倍数にも両方含まれています。
12の倍数は、
100÷12＝8あまり4
なので、
8個
あります。
この「重なり」を調整するために、集合では次の式を使います。
33＋25−8＝50
つまり、
「3または4で割り切れる数」は50個
です。
ベン図で考えるとわかりやすい
ベン図では次のように考えます。
| 部分 | 個数 |
|---|---|
| 3だけで割り切れる | 33−8＝25 |
| 3と4の両方で割り切れる | 8 |
| 4だけで割り切れる | 25−8＝17 |
つまりベン図の中には、
25＋8＋17＝50
個が入っています。
イメージとしては、
3の倍数 4の倍数
○────○
25 8 17
のようになります。
そして問題で欲しいのは、
この円の外側
です。
「割り切れない」は外側を見る
ここが最大のポイントです。
「3でも4でも割り切れない」というのは、
ベン図の円の中ではなく、外側
を意味します。
1〜100まで全部で100個あるので、
100−50＝50
となります。
したがって答えは、
50個
です。
なぜ混乱しやすいのか
この問題で混乱しやすい理由は、
「割り切れる数」を探す問題から、急に「割り切れない数」を探す問題へ切り替わるからです。
集合の問題では、
- 条件に当てはまる部分＝円の中
- 条件に当てはまらない部分＝円の外
と考えると整理しやすくなります。
特に「〜でない」という問題では、最後に全体から引くケースが非常に多いです。
補集合という考え方
数学では、「条件に当てはまらない部分」を補集合と呼びます。
今回なら、
「3または4で割り切れる数」の補集合が、
「3でも4でも割り切れない数」
です。
この考え方を覚えると、確率や集合の問題がかなり解きやすくなります。
まとめ
1〜100の整数のうち、3または4で割り切れる数は、
33＋25−8＝50個
です。
問題で求めたいのは「どちらでも割り切れない数」なので、全体100個から引きます。
100−50＝50
よって答えは、
50個
になります。
ベン図では、「条件に合うもの＝円の中」「条件に合わないもの＝円の外」と考えると整理しやすくなります。
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