平方根の計算では、「√が付いているとどう計算すればいいのかわからない」と感じる人が多くいます。特に「8√7を二乗するとどうなるの？」という問題は、中学数学や高校入試でもよく出題される基本問題のひとつです。
このタイプの問題では、ただ答えを覚えるのではなく、「どこを二乗するのか」を理解することが重要です。
この記事では、8√7を二乗する計算を途中式付きでわかりやすく解説しながら、平方根の基本ルールやミスしやすいポイントも紹介します。
8√7を二乗する計算
まずは実際に計算してみます。
(8√7)²
二乗では、「かっこ全体」を2回かけます。
つまり、
(8√7)² = (8√7) × (8√7)
となります。
ここで、数字部分と√部分をそれぞれ計算します。
= 8 × 8 × √7 × √7
8×8 は 64 です。
また、
√7 × √7 = 7
なので、
= 64 × 7
最後に計算すると、
= 448
つまり、8√7を二乗すると答えは448になります。
なぜ√7×√7で7になるのか
平方根では、このルールが非常に重要です。
(√a)² = a
√は「2乗すると元に戻る数」を表しています。
例えば、
- √9 = 3
- 3² = 9
という関係があります。
同じように、
√7 × √7 = 7
になります。
これは平方根の基本中の基本なので、覚えておくと計算がかなり楽になります。
二乗のときに大事なポイント
この問題で重要なのは、「8だけを二乗する」のではなく、「8√7全体を二乗する」という点です。
つまり、
(ab)² = a²b²
という公式を使っています。
今回なら、
(8√7)² = 8² × (√7)²
と考えることもできます。
すると、
- 8² = 64
- (√7)² = 7
なので、
64 × 7 = 448
となります。
この考え方は、高校数学でもずっと使う重要なルールです。
よくあるミス
平方根の計算では、次のようなミスがよくあります。
| ミス | 内容 |
|---|---|
| 8だけ二乗する | √7を忘れる |
| √7²を49にする | √と二乗の関係を勘違い |
| 64+7にする | 掛け算を足し算にしてしまう |
特に多いのが、√7²を49としてしまうミスです。
しかし、
(√7)² = 7
なので注意が必要です。
平方根では、「√と2乗は打ち消し合う」と覚えると理解しやすくなります。
似た問題も解けるようになる考え方
今回の考え方を理解すると、似た問題も簡単に解けるようになります。
| 問題 | 答え |
|---|---|
| (3√5)² | 45 |
| (2√11)² | 44 |
| (5√2)² | 50 |
どれも、
(a√b)² = a² × b
という形で計算できます。
つまり、数字部分を二乗して、√の中身を掛ければよいということです。
平方根の計算は、ルールを理解するとパターン化しやすい分野です。
まとめ
8√7を二乗すると、
(8√7)² = 448
になります。
途中式では、
(8√7)² = 8² × (√7)² = 64 × 7 = 448
という流れで計算します。
平方根では、「√と二乗は打ち消し合う」というルールが重要です。公式だけ暗記するのではなく、なぜそうなるのかを理解しておくと、応用問題でもミスしにくくなります。
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