指数が入った式を見ると、「logを習っていないと解けないのでは？」と思う人も多いかもしれません。しかし、指数方程式の中には、工夫することで中学生〜高校初級レベルでも解ける問題があります。
この記事では、「2^x＋1/2^x＝3」という式を、logを使わずに解く方法を、途中式を省略せずにわかりやすく解説します。
まず問題を確認する
今回の問題はこちらです。
2^x＋1/2^x＝3
この式では、指数の部分にxがあります。
こういう場合は、同じ形をひとつの文字に置き換えるのが基本テクニックです。
2^xを文字で置き換える
まず、次のように置きます。
2^x＝t
すると、元の式はこうなります。
t＋1/t＝3
これで指数が消え、普通の式として考えやすくなりました。
分数をなくして整理する
次に、分母をなくすために両辺にtをかけます。
t^2＋1＝3t
これを移項すると、
t^2－3t＋1＝0
という2次方程式になります。
2次方程式を解く
この式を解きます。
t^2－3t＋1＝0
因数分解はできないので、解の公式を使います。
t＝(3±√5)/2
ここで思い出したいのが、最初に
t＝2^x
と置いたことです。
2^xは必ず正の数なので、tは正でなければなりません。
すると、
- (3＋√5)/2 は正
- (3－√5)/2 も正
となるため、どちらも候補になります。
xの値を考える
ここからは、2^xがどの値になるかを考えます。
まず近い値を確認してみます。
| x | 2^x |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
実際に代入してみると、
x＝1 のとき
2^1＋1/2^1＝2＋1/2＝2.5
となり、3にはなりません。
では別の方法で考えます。
式の特徴を利用する考え方
実は、この問題は「逆数どうし」の形になっています。
例えば、
a＋1/a
という式では、aが1から離れるほど値が大きくなります。
今回の問題では、
2^x＋1/2^x＝3
を満たすxを求めればよいので、近い値を試していくことでも確認できます。
実際には、
x≈1.27 または x≈-1.27
となります。
ただし、この値を正確に求めるにはlogが必要になります。
logを習っていない場合はどうする？
学校の範囲によっては、「xの正確な値を求める」のではなく、途中の変形までを理解することが目的の場合があります。
つまり、
2^x＝(3±√5)/2
まで変形できれば十分なこともあります。
logを習うと、そこからさらにxを取り出せるようになります。
指数方程式を解くときのコツ
指数がある問題では、次の流れを覚えておくと便利です。
- 同じ形を文字で置く
- 普通の方程式に変形する
- 最後に元へ戻す
特に「2^xをtと置く」という考え方は、今後もよく使います。
指数問題は、まず置き換えを考えるのが基本です。
まとめ
「2^x＋1/2^x＝3」は、一見難しそうに見えますが、2^xを文字で置き換えることで解きやすくなります。
解き方の流れは次の通りです。
- 2^x＝t と置く
- t＋1/t＝3 に変形
- t^2－3t＋1＝0 を解く
- 2^x＝(3±√5)/2 に戻す
logを習っていない段階では、ここまで理解できれば十分な場合が多いです。
指数方程式では「置き換え」が非常に重要なので、ぜひ覚えておきましょう。
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