三次関数の最小値を求める問題では、「微分して増減を調べる」という流れが基本になります。
ただし、今回のように文字定数kが含まれている場合は、単純に計算するだけではなく、kの値によってグラフの形がどう変化するかを考える必要があります。
特に「x≧0での最小値を与えるx」を求める問題では、定義域の条件も重要になります。
この記事では、関数f(x)=x^3-3kx^2+3kxについて、x≧0における最小値を与えるxの求め方を、途中式を省略せずに整理します。
まずは微分して増減を調べる
与えられた関数は。
f(x)=x^3-3kx^2+3kx
です。
最小値を調べるために微分します。
f'(x)=3x^2-6kx+3k
これを整理すると。
f'(x)=3(x^2-2kx+k)
となります。
極値を調べるため、f'(x)=0を解きます。
f'(x)=0を解く
方程式。
x^2-2kx+k=0
を解きます。
解の公式を使うと。
x=k\pm\sqrt{k^2-k}
となります。
ここで重要なのは。
- k^2-k≥0 のときのみ実数解を持つ
- つまり k≤0 または k≥1
という点です。
逆に。
0<k<1
では判別式が負になるため、f'(x)=0は実数解を持ちません。
0<k<1 の場合
この場合、f'(x)は常に正になります。
つまり。
f(x)はx≧0で単調増加
です。
したがって最小値は。
x=0
で取ります。
k≤0 の場合
この場合も注意します。
解。
x=k\pm\sqrt{k^2-k}
を考えると、x≧0に入る解を確認する必要があります。
例えばk<0では。
- k自体が負
- 平方根部分より小さい
ため、片方だけ正になる場合があります。
しかし増減を確認すると、x≧0では結局。
最小値はx=0
になります。
実際、k≤0では。
f'(0)=3k≤0
から始まり、その後増加へ転じますが、x≧0全体で見ると最小は端点x=0になります。
k≥1 の場合が重要
k≥1では、f'(x)=0は2つの実数解を持ちます。
その解は。
x=k-\sqrt{k^2-k}
x=k+\sqrt{k^2-k}
です。
三次関数の増減より。
- 前者で極大
- 後者で極小
になります。
したがって、x≧0における最小値を与えるxは。
x=k+\sqrt{k^2-k}
です。
最終的な答えを整理する
以上をまとめると、x≧0においてf(x)の最小値を与えるxは。
| kの範囲 | 最小値を与えるx |
|---|---|
| k<1 | x=0 |
| k≥1 | x=k+√(k²-k) |
となります。
なぜ場合分けが必要なのか
この問題で難しく感じやすいのは、「文字定数が入ることでグラフの形が変わる」点です。
例えば。
- 極値が存在しない場合
- 極小点が定義域外になる場合
- 端点が最小になる場合
など、状況が変化します。
そのため、単純に「微分して0にする」だけでは不十分で、増減と定義域をセットで考える必要があります。
まとめ
f(x)=x^3-3kx^2+3kx の x≧0 における最小値を与えるxは、微分による増減を使って求めます。
ポイントは。
- まずf'(x)=0を解く
- 判別式で場合分けする
- x≧0という条件を忘れない
ことです。
最終結果は。
k<1 のとき x=0
k≥1 のとき x=k+√(k²-k)
となります。
文字定数付き三次関数では、「増減表」と「定義域」を丁寧に確認することが大切です。
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