「YOKOHAMA」のように同じ文字が含まれている並べ替え問題は、中学生がつまずきやすい単元のひとつです。特に「なぜ割るのか」「なぜ階乗を使うのか」が曖昧なまま進むと、解説を見ても意味がわからなくなりがちです。この記事では、「YOKOHAMA」の並べ替え問題を例にしながら、順列の基本から丁寧に解説していきます。
まずは「YOKOHAMA」の文字を整理する
YOKOHAMA は全部で8文字あります。
並べる文字を確認すると次のようになります。
| 文字 | 個数 |
|---|---|
| Y | 1個 |
| O | 2個 |
| K | 1個 |
| H | 1個 |
| A | 2個 |
| M | 1個 |
ポイントは、Oが2個、Aが2個あることです。
(1) 異なる並べ方は何通り？
まず、8文字が全部違う文字なら、並べ方は
8! = 40320
通りあります。
しかし今回は O が2個、A が2個あります。
例えば、
Y O K O H A M A
の2つのOを入れ替えても見た目は同じです。
つまり、Oを入れ替えた分だけ「同じ並べ方を重複して数えている」ことになります。
Aについても同じです。
だから重複分を割る
Oの並べ替えが2!通り、Aの並べ替えも2!通りあるので、
40320 ÷ (2!×2!)
= 40320 ÷ 4
= 10080通り
となります。
(2) OとAが必ず偶数番目にある並べ方
偶数番目とは、
2番・4番・6番・8番
の4か所です。
ここに O,O,A,A を入れる必要があります。
まず偶数番目を並べる
4つの場所に O,O,A,A を並べます。
4文字ありますが、Oが2個、Aが2個同じなので、
4! ÷ (2!×2!)
= 6通り
次に残りの文字を並べる
残った奇数番目には
Y,K,H,M
を並べます。
これは全部違う文字なので、
4! = 24通り
最後に掛け算
偶数番目の並べ方6通りと、奇数番目の並べ方24通りを組み合わせるので、
6 × 24 = 144通り
となります。
(3) Y,K,H,M がこの順にある並べ方
ここが一番混乱しやすい問題です。
「この順にある」というのは、
Y → K → H → M
の順番が崩れないという意味です。
ただし、隣に並んでいる必要はありません。
まず全部の並べ方を考える
全体の並べ方は、(1)で求めたように10080通りです。
Y,K,H,M の順番だけに注目する
Y,K,H,M の4文字の並び順は、本来なら
4! = 24通り
あります。
例えば、
- Y→K→H→M
- Y→H→K→M
- M→H→K→Y
などです。
その24通りのうち、問題文の条件を満たすのは
Y→K→H→M の1通りだけ
です。
だから24で割る
全体10080通りのうち、24分の1だけが条件を満たすので、
10080 ÷ 24
= 420通り
となります。
こういう問題で大事な考え方
並べ替え問題では、次の3つを意識すると整理しやすくなります。
| 考え方 | 意味 |
|---|---|
| まず全部数える | 条件なしの並べ方 |
| 同じ文字に注意 | 重複を割る |
| 条件を後からつける | 場所固定や順番制限 |
特に「同じものがあるから割る」という感覚はとても重要です。
まとめ
「YOKOHAMA」の問題では、OとAが重複していることがポイントでした。(1)では重複分を割り、(2)では偶数番目に文字を配置してから残りを並べ、(3)ではY,K,H,Mの順番が24通り中1通りしかないことを利用しています。順列問題は一見複雑ですが、「まず全部数える」「同じ文字は割る」「条件を後からつける」という流れで考えると整理しやすくなります。
コメント