円錐の表面積は、底面の円と側面の曲面を合計したものです。展開図を使わずに求める場合でも、底面の半径と母線の長さを用いることで計算できます。
円錐の表面積の公式
円錐の表面積Sは次の式で表されます。
S = 底面積 + 側面積
底面は円なので、底面積A底 = πr²。側面は母線lと底面半径rを用いて、側面積A側 = πr × l。
母線の長さを使った計算
母線lは円錐の頂点から底面の円周までの距離で、直角三角形を用いて求められます。高さhと底面半径rが分かっていれば。
l = √(r² + h²)
したがって、表面積S = πr² + πr × √(r² + h²)
具体例
例えば底面半径r = 3 cm、高さh = 4 cmの場合。
母線 l = √(3² + 4²) = √25 = 5 cm
側面積 = π × 3 × 5 = 15π cm²
底面積 = π × 3² = 9π cm²
表面積 = 9π + 15π = 24π cm²
まとめ
円錐の表面積は展開図を描かなくても、底面の半径と高さ（または母線の長さ）を用いて簡単に求められます。公式を覚えれば、計算もスムーズです。
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