f(a×b)=f(a)+f(b)の関数問題の解説と計算方法

今回の問題は、乗法に対して加法的になる関数f(x)について考える問題です。関数の性質を利用すると簡単に計算できます。

問題の整理

与えられた条件は以下の通りです。

求めること。

まず100を素因数分解します。

100 = 10 × 10

この性質を使うと、f(100) = f(10 × 10) = f(10) + f(10) = 1 + 1 = 2

t^10=1000なので、両辺にfを適用します。

f(t^10) = f(1000)

f(t^10) = 10 × f(t)（f(a^n) = n × f(a) が成り立つ）

1000 = 10 × 10 × 10 = 10^3 なので、f(1000) = f(10^3) = 3 × f(10) = 3 × 1 = 3

よって、10 × f(t) = 3 ⇒ f(t) = 3 / 10 = 0.3

① f(100) = 2

② f(t) = 0.3

ポイントは、乗法に対して加法的な性質を使うことと、べき乗の場合はf(a^n) = n × f(a)が使えることです。素因数分解とこの性質を組み合わせることで、簡単に値を求められます。