ベクトルで表す三角形の内分・外分点と重心の求め方

三角形の頂点を用いたベクトル表現は、内分点・外分点・重心を計算する際に非常に便利です。今回は△ABCにおける点D（辺BCを2:3に内分）、点E（辺BCを1:2に外分）、重心Gをa↑、b↑、c↑を使って表現する方法を解説します。

内分点Dのベクトル表現

辺BCをm:nに内分する点Dは、ベクトルで次のように表せます。

BD : DC = m : n → OD↑ = (n b↑ + m c↑)/(m+n)

この場合、BCを2:3に内分なので m=2, n=3 となり、OD↑ = (3 b↑ + 2 c↑)/5

AD↑ = OD↑ – OA↑ = (3 b↑ + 2 c↑)/5 – a↑

辺BCを外分する点E（比1:2）は、外分公式を使います。

BCを外分する点E: BE : EC = -1 : 2 → OE↑ = (-1 b↑ + 2 c↑)/( -1 + 2) = (-b↑ + 2 c↑)/1 = -b↑ + 2 c↑

AE↑ = OE↑ – OA↑ = (-b↑ + 2 c↑) – a↑ = -a↑ – b↑ + 2 c↑

三角形の重心Gは各頂点ベクトルの平均で表せます。

OG↑ = (a↑ + b↑ + c↑)/3 → AG↑ = OG↑ – OA↑ = (a↑ + b↑ + c↑)/3 – a↑ = (-2 a↑ + b↑ + c↑)/3

GE↑ = OE↑ – OG↑ = (-b↑ + 2 c↑) – (a↑ + b↑ + c↑)/3 = (-a↑ – 4 b↑ + 5 c↑)/3

まとめると、各ベクトルは以下の通りです。

内分・外分・重心の公式を理解しておくと、任意の比や三角形に対してベクトル表現を計算できます。