理想気体における ΔU=nCvΔT の導出と一般性の理由

高校物理の熱力学で習う式 ΔU=nCvΔT は、理想気体の内部エネルギー変化を表す基本式です。ここでは定積モル比熱 Cv を用いて導出する理由と、なぜ理想気体一般に成り立つのかを解説します。

定積条件と内部エネルギー

定積条件とは、気体の体積を一定に保った状態で熱を加えることを意味します。この場合、体積が変化しないため気体は外部に仕事をしません（W=0）。したがって、熱量 Q はすべて内部エネルギーの変化 ΔU に変換されます。

定積モル比熱 Cv は 1 mol の気体の温度を 1 K 上げるのに必要な熱量を表します。定積条件下で、熱量 Q は Cv を用いて Q=nCvΔT と書けます。

理想気体では、分子間力がないと仮定されるため、内部エネルギーは圧力や体積には依存せず温度のみに依存します。したがって、ΔU は温度変化 ΔT のみに比例し、ΔU=nCvΔT という形になります。

理想気体の性質として、体積や圧力によらず内部エネルギーが温度にのみ依存することから、モノ原子・二原子・多原子に関わらずこの式は一般に適用可能です。定積条件を満たせば、どの理想気体でも ΔU=nCvΔT が成り立ちます。

ΔU=nCvΔT の式は、定積条件下での熱の投入が内部エネルギーのみに変換されることと、理想気体の内部エネルギーが温度のみに依存する性質に基づきます。そのため、理想気体一般において適用可能な基本式となっています。