導体球の内部と外部における電場の強さの計算と理由

高校物理でよく出る問題のひとつに、導体球の内部と外部の電場の強さを求める問題があります。特に導体球の内部で電場が0になる理由は理解しておくと便利です。

導体球の外部での電場 (r < x)

半径 r の導体球に電荷 Q が一様に分布している場合、ガウスの法則を使って外部の電場を求めます。導体球の中心から距離 x > r の点における電場 E は次の式で表されます。

E = k0 * Q / x²

ここで k0 は真空中のクーロン定数です。この式は点電荷の場合と同じで、球の外側から見ると導体球全体の電荷が中心に集中しているのと同等だからです。

導体内部では自由電子が自由に動けるため、外部からの電場を打ち消すように電荷が再配置されます。その結果、導体球の内部では電場が完全に打ち消され、電場の強さ E は 0 [N/C] になります。

ガウスの法則で導体内部の任意の半径 x < r の球面を考えると、内部に囲まれる自由電荷は0なので、E * 4πx² = Q_enc / ε0 = 0 となり、電場 E = 0 が導かれます。

導体球内部で電場が0になる理由は、自由電子が電場を打ち消すように再配置されるためです。外部では球の全電荷を点電荷とみなしてクーロンの法則に従い電場を計算できます。これにより、x < r のとき電場は0、x > r のとき E = k0 * Q / x² となります。