数学III｜漸近線の求め方をゼロから解説

数学IIIで扱う漸近線は、関数のグラフが無限大に近づくときに接近する直線のことです。今回は、漸近線の求め方を基本から丁寧に解説します。

漸近線の種類

漸近線には大きく分けて2種類あります。

• 水平漸近線：yが定数に近づく場合
• 斜め（傾き）漸近線：yがmx+nの形で近づく場合

水平漸近線の求め方

関数f(x)についてx→∞またはx→-∞の極限を求めます。

例えば、f(x)= (2x+3)/(x-1)の場合、x→∞でf(x)→2となるので、y=2が水平漸近線です。

斜め漸近線の求め方

分数関数で分子の次数が分母の次数より1大きい場合に発生します。

手順。

1. x→∞の極限を使い、傾き m = lim(x→∞) f(x)/x
2. 切片 n = lim(x→∞) (f(x) – mx)

例：f(x)=(2x^2+3)/(x)の場合、m=2, n=0 なので漸近線は y=2x

まとめ

漸近線を求めるには関数のx→∞, x→-∞での挙動を確認します。水平漸近線は極限が定数の場合、斜め漸近線は分子次数が分母より1大きい場合に発生します。計算手順を覚えれば、漸近線を正確に求められます。