フィボナッチ型数列の発散条件と初項の関係の解説

数列AnがA1=a, A2=b, An+2=An+1 + Anで定義される場合、数列の振る舞いは初項a,bの値に大きく依存します。本記事では、数列が正の無限大または負の無限大に発散する条件を明確に説明します。

1. 数列の一般項の求め方

漸化式An+2=An+1+Anは二次方程式r^2=r+1の特性方程式を持ちます。解は

r1=(1+√5)/2, r2=(1-√5)/2

であり、一般項は

An = α*r1^n + β*r2^n

となります。ここでα,βは初項a,bから求められる定数です。

初項からα,βを決定する連立方程式は以下です。

α + β = a

α*r1 + β*r2 = b

この連立を解くことで、任意のa,bに対するα,βが求められます。

r1>1, |r2|<1なので、n→∞の極限でr1^nが支配的です。したがって

lim n→∞ An = ∞ ⇔ α>0

lim n→∞ An = -∞ ⇔ α<0

α=0なら数列はr2^n項のみになり有限に収束または小さく振動します。

α = (b – r2*a)/(r1 – r2) より。

α>0 ⇔ b > r2*a

α<0 ⇔ b < r2*a

ここでr2=(1-√5)/2 ≈ -0.618なので、境界は b ≈ -0.618 a です。これが試行で見つけたb=-3/5 a,-2/3 aの間に境界がある理由です。

・数列AnはAn+2=An+1+Anで定義される。

・極限はαの符号で決まる。

・発散条件。

・境界 b ≈ -0.618 a がα=0に対応し、発散しない場合にあたる。