2次方程式の正の異なる解から求める定数mの範囲

2次方程式の解の性質を利用して、定数mの範囲を求める方法を紹介します。問題はx^2 – 2(m-1)x + m – 5 = 0が異なる2つの正の解をもつとき、mの値の範囲を求めるものです。

1. 異なる2つの解を持つ条件

2次方程式ax^2+bx+c=0が異なる解をもつには判別式D>0が必要です。判別式はD = b^2 – 4acです。

本問ではa=1, b=-2(m-1), c=m-5なので、D = [-2(m-1)]^2 – 4*1*(m-5) = 4(m-1)^2 – 4(m-5) = 4[(m-1)^2-(m-5)]

計算すると4[(m^2 – 2m + 1) – m + 5] = 4(m^2 – 3m + 6) > 0。判別式は常に正なので異なる解の条件は常に成立します。

解が正であるためには、和と積の条件を使います。2次方程式ax^2+bx+c=0の解をα, βとすると、α+β=-b/a, αβ=c/aです。

本問の場合、α+β = 2(m-1), αβ = m-5です。解が正であるためには α+β > 0, αβ > 0 となる必要があります。

和の条件: 2(m-1) > 0 → m-1 > 0 → m > 1

積の条件: m-5 > 0 → m > 5

両方の条件を満たす範囲は m > 5 です。

よって、2次方程式x^2 – 2(m-1)x + m-5=0が異なる2つの正の解をもつための定数mの範囲は m > 5 です。