√(2-x) + √(x+1) の最大値と最小値の求め方

関数 f(x) = √(2-x) + √(x+1) の最大値と最小値を求めるためには、定義域の確認と微分を使った解析が有効です。ここではステップごとに解説します。

ステップ1：定義域の確認

√(2-x) が定義される条件は 2-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2
√(x+1) が定義される条件は x+1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1

したがって定義域は x ∈ [-1, 2] です。

ステップ2：微分による極値の確認

f(x) = √(2-x) + √(x+1)
f'(x) = -1/(2√(2-x)) + 1/(2√(x+1))

極値は f'(x)=0 となる点で発生します。
-1/(2√(2-x)) + 1/(2√(x+1)) = 0 ⇒ √(2-x) = √(x+1) ⇒ 2-x = x+1 ⇒ x = 0.5

ステップ3：端点と極値での値の比較

x=-1: f(-1)=√(2-(-1))+√((-1)+1)=√3+0=√3 ≈ 1.732
x=2: f(2)=√(2-2)+√(2+1)=0+√3=√3 ≈ 1.732
x=0.5: f(0.5)=√(2-0.5)+√(0.5+1)=√1.5+√1.5 ≈ 1.225+1.225 ≈ 2.449

まとめ

したがって、f(x) の最大値は x=0.5 で f(x) ≈ 2.449、最小値は端点 x=-1 または x=2 で f(x) ≈ 1.732 です。