2次方程式の問題では、「異なる2つの実数解をもつ条件」を聞かれることがよくあります。これは中学2年生・3年生の数学で重要なテーマです。今回は、x^2+5x-2m+1=0 が異なる2つの実数解をもつような定数mの範囲を、できるだけわかりやすく説明します。
まずは「異なる2つの実数解」の条件を確認
2次方程式 ax^2+bx+c=0 が異なる2つの実数解をもつためには、判別式を使います。
判別式は次の式です。
D=b^2-4ac
そして、異なる2つの実数解をもつ条件は、
D>0
です。
問題の式を確認する
今回の問題は、
x^2+5x-2m+1=0
です。
これを ax^2+bx+c=0 と比べると、
| a | b | c |
|---|---|---|
| 1 | 5 | -2m+1 |
となります。
判別式を計算する
判別式 D=b^2-4ac に代入します。
D=5^2-4×1×(-2m+1)
まず計算すると、
D=25-4(-2m+1)
さらにかっこを外します。
D=25+8m-4
D=8m+21
異なる2つの実数解をもつ条件を使う
異なる2つの実数解をもつためには、
D>0
なので、
8m+21>0
これを解きます。
8m>-21
m>-21/8
よって答えは、
m>-21/8
です。
途中式を書くと減点されにくい
学校のテストでは、答えだけでなく途中式を書くことが大切です。特に判別式の問題では、
- D=b^2-4ac を書く
- 値を代入する
- D>0 を使う
という流れを書くと、途中点をもらいやすくなります。
例えば途中で計算ミスをしても、考え方が合っていれば部分点が入ることがあります。
よくある間違い
このタイプの問題では、
- D≧0 としてしまう
- かっこの符号ミスをする
- -4ac の計算を間違える
というミスが多いです。
今回は「異なる2つの実数解」なので、D>0 を使う点に注意しましょう。
まとめ
2次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式を使って D>0 にすることです。
今回の問題では、
D=8m+21
となり、
8m+21>0
を解いて、
m>-21/8
が答えになります。
判別式の問題は高校数学でも続く重要な内容なので、途中式の流れごと覚えておくと今後も役立ちます。
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