因数分解の応用：(a+b)(b+c)(c+a)+abc の解法

因数分解の問題で、式 (a+b)(b+c)(c+a)+abc の扱い方を解説します。このタイプの式は三変数の対称式に関連しており、工夫することで簡単に因数分解できます。

ステップ1: 式の展開

まず (a+b)(b+c)(c+a) を展開します。展開すると、a b c の項を含む各種積が現れます。展開すると次のようになります。

(a+b)(b+c)(c+a) = a b c + a b² + a c² + b a² + b c² + c a² + c b²

元の式に +abc があるので、abc の項が2回加わります。よって全体は。

(a+b)(b+c)(c+a) + abc = 2abc + a b² + a c² + b a² + b c² + c a² + c b²

式を整理して、共通因数を取り出すと、(a+b+c)(ab+bc+ca) という形に因数分解できます。具体的には、対称式の性質を使い、項をまとめます。

2abc + (a b² + b a²) + (b c² + c b²) + (c a² + a c²) = (a+b+c)(ab+bc+ca)

式 (a+b)(b+c)(c+a)+abc は、最終的に (a+b+c)(ab+bc+ca) と因数分解されます。三変数対称式を因数分解する際は、項を整理して共通因数を見つけることがポイントです。