高校数学で出てくる有理化の問題は、分母に平方根がある式を扱いやすくするためのテクニックです。特に、x=√5+1/2 のときの 1/x を計算する場合も同様です。
1/x が 2/(√5+1) になる理由
x=√5+1/2 なので、1/x をそのまま書くと分母に分数が入ります。式を整理すると、1/(√5+1)/2 となり、分母の 1/2 を逆数にすると 1/x = 2/(√5+1) になります。これが最初に 1/x = 2/(√5+1) と表される理由です。
有理化の手順
分母に平方根がある場合、√5-1 を掛けて分母を有理数にします。
2/(√5+1) × (√5-1)/(√5-1) = 2(√5-1)/((√5+1)(√5-1))
分母は平方差の公式により 5-1=4 となり、結果 1/x = (√5-1)/2 となります。
ポイント
- 分母の分数は逆数をかけることで簡単に整理できる。
- 平方根を含む分母は有理化すると計算や理解が容易になる。
まとめ
1/x = 2/(√5+1) となる理由は、分母の 1/2 を逆数にしたためです。その後、有理化することで最終的に 1/x = (√5-1)/2 と表せます。分数の整理と有理化の手順を理解しておくことが重要です。
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