四分位計算の下位四分位数の求め方と疑問の解説

四分位数の計算では、データの分布を4等分して値を求めます。特に下位四分位（Q1）の求め方で「位置の計算」と「値の計算」があります。ここでは、なぜ1を足すのか、なぜ×0.25するのかについて解説します。

下位四分位の位置の計算

例としてデータ 3.04, 3.29, 4.22, 4.27, 5.57, 6.90, 7.65, 10.61 があります。位置の計算式は以下の通りです:
1 + (n-1) × 0.25 = 1 + (8-1) × 0.25 = 2.75

ここで 1 を足す理由は、位置番号の始まりを 1 番目から数えるためです。データが n 個ある場合、最初のデータを 1 番目として数えると、この補正が必要になります。

下位四分位の値の計算

位置 2.75 は 2 番目と 3 番目のデータの間にあります。このとき値は線形補間で求めます:
3.29 + (4.22 – 3.29) × 0.75 = 3.29 + 0.93 × 0.75 = 3.9975 ≈ 3.52

疑問として「×0.25ではなく×0.75では？」とありますが、位置 2.75 は 2 番目の値から 3 番目の値に向かって 0.75 の割合で進むため、補間する値は (次の値 – 前の値) × 0.75 となります。ここで 0.25 とする表記は、位置の計算式で既に全体の 25% を反映している場合で、補間部分の比率は 0.75 です。計算手順によって 0.25 を使う方式もありますが、本質は線形補間の割合を正しく反映することです。

まとめ

・位置の計算で 1 を足すのは、データの始まりを 1 番目とするため。
・値の補間では、対象の位置が前後のデータのどの割合にあるかを使って線形補間する。
・×0.25や×0.75は計算手順によるが、重要なのは位置の割合に応じた補間を行うことです。