多項式展開でxyzの係数を求める方法と解説

数学で複数の多項式の積を展開する際、特定の項の係数だけを求めたい場合があります。ここでは、(x+y+2z)(2x+3y-z)(4x-y-3z)の展開において、xyzの項の係数を求める方法を解説します。

xyzの項を見つける考え方

xyzの項は、各カッコから1つずつx、y、zを選んで掛け合わせたときに現れます。すなわち、積の各因子からx、y、zを1つずつ取る組み合わせを考えます。

各組み合わせと符号の計算

それぞれの因子からxyzを作る組み合わせは次の通りです。

• x from (x+y+2z), y from (2x+3y-z), z from (4x-y-3z) → 係数: 1*3*(-3) = -9
• x from (x+y+2z), z from (2x+3y-z), y from (4x-y-3z) → 1*(-1)*(-1) = 1
• y from (x+y+2z), x from (2x+3y-z), z from (4x-y-3z) → 1*2*(-3) = -6
• y from (x+y+2z), z from (2x+3y-z), x from (4x-y-3z) → 1*(-1)*4 = -4
• 2z from (x+y+2z), x from (2x+3y-z), y from (4x-y-3z) → 2*2*(-1) = -4
• 2z from (x+y+2z), y from (2x+3y-z), x from (4x-y-3z) → 2*3*4 = 24

係数の合計

xyzの項の係数は、すべての組み合わせの係数の合計です。

-9 + 1 – 6 – 4 – 4 + 24 = 2

まとめ

したがって、(x+y+2z)(2x+3y-z)(4x-y-3z)の展開におけるxyzの項の係数は2です。重要なのは、xyzの項を作るために各因子から1つずつ選ぶ組み合わせを整理し、符号を正しく計算することです。