極限での重解とは？(x−a)^n=0 の場合の考え方

多項式の根の重複度は、根が何回現れるかで決まります。式 (x−a)^n=0 においては、a が n 重根として現れます。ここで n を無限大に近づけると、根の重複度も無限大に増えることになります。

重解の基本概念

一般に、方程式 f(x)=0 の根 x=a が k 回繰り返される場合、a は k 重根（重解）と呼ばれます。つまり、(x−a)^k が f(x) の因子として現れる場合、a は k 重根です。

この式では、a が n 回繰り返されているので、a の重解の次数は n です。例えば n=3 なら三重根、n=5 なら五重根になります。

もし n を無限大に近づけると、a の重解の次数も無限大になります。この場合、a は無限重根と表現できます。ただし、無限重根はあくまで極限的な概念であり、実際の多項式では n は有限である必要があります。

(x−a)^n=0 において n を無限大にすると、根 a の重複度は無限大となり、a は極限的に無限重根と考えられます。数学的には、この考え方は極限操作として理解されます。