極座標での等速円運動は、物理学や力学でよく登場するテーマです。動径をr、偏角をθとした場合、外力の成分Fr（動径方向）とFθ（偏角方向）を用いて運動を記述できます。ここでは、Fr一定かつFθ=0から、r一定かつdθ/dt一定の等速円運動を示す手順を分かりやすく解説します。
1. 基本式の確認
極座標における加速度は以下で表されます。
a_r = d²r/dt² – r (dθ/dt)²
a_θ = r d²θ/dt² + 2 (dr/dt)(dθ/dt)
ニュートンの第二法則により、質量mに対して動径方向、偏角方向の力は。
Fr = m a_r
Fθ = m a_θ
2. Fθ = 0 から角速度一定を導く
偏角方向に力がない場合。
Fθ = m (r d²θ/dt² + 2 (dr/dt)(dθ/dt)) = 0
これを整理すると。
r d²θ/dt² + 2 (dr/dt)(dθ/dt) = 0
r ≠ 0 とすると、角運動量保存則の形になります。
d/dt (r² dθ/dt) = 0 ⇒ r² dθ/dt = 定数
したがって、rが一定ならば dθ/dt は一定となり、角速度が一定であることがわかります。
3. Fr一定から動径方向を確認
動径方向の力は。
Fr = m (d²r/dt² – r (dθ/dt)²)
Frが一定かつr² dθ/dtが定数であることから、rが変化すればd²r/dt² – r(dθ/dt)²は変化してしまうため、rは一定でなければならないことがわかります。
4. 結論：等速円運動の成立
以上より。
- Fθ = 0 ⇒ r² dθ/dt = 定数
- Fr一定 ⇒ r = 定数
よって、Fr一定かつFθ=0の条件から、r一定・dθ/dt一定の等速円運動が成立することが示されます。
5. 参考資料
この手順は、大学初年度の力学テキストや以下のオンライン資料でも確認できます：[MIT OpenCourseWare Classical Mechanics](https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-01sc-classical-mechanics-fall-2016/)
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