漸化式 aₙ₊₁ = aₙ – 3 の文字置き換えの扱い方と解法

漸化式では項ごとに値が順番に決まっていく関係式を扱います。aₙ₊₁ = aₙ – 3 のような一次の漸化式を文字で表す場合、どのように置き換え可能かについて説明します。

1. aₙ₊₁ と aₙ の文字置き換えは同値ではない

aₙ₊₁ と aₙ は異なる項を表しています。両方を同じ文字 x に置き換えると情報が失われ、正しい漸化式の意味が保てません。つまり、aₙ₊₁ = aₙ – 3 を x = x – 3 としてしまうと、無意味な式になります。

2. 文字を使った漸化式の解法

漸化式を文字を用いて一般項で表す場合は、a₀（初項）を基準にします。例えば初項 a₀ が与えられていると、

a₁ = a₀ – 3
a₂ = a₁ – 3 = a₀ – 3×2
a₃ = a₂ – 3 = a₀ – 3×3

このように規則性を見つけることで、一般項 aₙ = a₀ – 3n と表せます。

3. 記号と項の対応を意識する

漸化式を扱うときは、各項 aₙ の意味を意識して文字を選ぶことが大切です。aₙ₊₁ を aₙ と同じ文字に置き換えることは避け、必要に応じて a₀ や n を使って一般式にまとめます。

4. まとめ

・aₙ₊₁ と aₙ は同じ文字に置き換えられません。
・漸化式は初項 a₀ から規則性を見つけて一般項 aₙ = a₀ – 3n のように表現します。
・文字置き換えの際は各項が何を表すかを意識し、情報を失わないように注意しましょう。