なぜ ∫g’(x)/g(x)dx＝log｜g(x)｜＋C が成り立つのか？数学的解説

微積分でよく使われる公式の一つに、∫g'(x)/g(x)dx＝log｜g(x)｜＋C があります。この公式は、関数の微分と対数関数の性質から導かれます。

対数関数の微分の性質

まず、自然対数関数 ln(x) の微分は d/dx[ln(x)] = 1/x です。これは、x に依存する関数 f(x) に対しても成り立ち、連鎖律を使うと d/dx[ln(f(x))] = f'(x)/f(x) となります。

公式の導出

∫g'(x)/g(x)dx を考えます。g(x) が微分可能で、かつ g(x)≠0 のとき、f(x) = g(x) と置くと、先ほどの連鎖律より d/dx[ln｜g(x)｜] = g'(x)/g(x) です。したがって、g'(x)/g(x) の不定積分は ln｜g(x)｜に C を加えたものになります。

絶対値をつける理由

絶対値｜g(x)｜をつけるのは、g(x) が負の値を取る場合でも対数関数が定義できるようにするためです。これにより、積分公式は g(x)≠0 であれば常に成り立ちます。

まとめ

結論として、∫g'(x)/g(x)dx＝log｜g(x)｜＋C が成り立つのは、対数関数の微分の性質と連鎖律から導かれるためです。g(x) が 0 でない限り、この公式を使うことで効率的に積分を解くことができます。