法線条件から求める曲線の方程式｜原点からの垂線とy座標の関係

曲線上の点Pにおける法線と原点Oから下ろした垂線の長さが、Pのy座標に等しいという条件から曲線を求める問題について解説します。この条件を微分方程式に置き換え、解を求める手順を示します。

ステップ1：法線の方程式を設定

曲線y=f(x)上の点P(x,y)における接線の傾きはy’で表されます。したがって法線の傾きは-1/y’です。法線の方程式はy – y_0 = -1/y'(x – x_0)となります。

原点Oから法線に下ろした垂線の長さdは、直線の距離の公式よりd = |0 – (-1/y’)*0 + y|/sqrt((-1/y’)^2 + 1)となります。条件よりd=yとなるので、この式から微分方程式を導きます。

距離条件を代入し整理するとy^2(y’^2 + 1) = y^2となり、y’^2=0が得られます。したがってy’ = 0、すなわち曲線は水平線となります。

微分方程式の解から、曲線はy=定数Cの形であることが分かります。原点を含む必要がある場合、C=0となり、求める曲線はy=0です。

与えられた法線条件から導かれる曲線は水平線であり、原点を通る場合はy=0となります。このように法線条件を距離公式に代入し、微分方程式を立てることで曲線を求めることができます。