曲線 x = y^2 と直線 x = y + 2 に囲まれた面積の求め方（数3）

今回は、曲線 x = y^2 と直線 x = y + 2 で囲まれた部分の面積を求める方法を、途中式を丁寧に解説しながら示します。答えは 9/2 です。

1. 交点を求める

まず、面積を求める範囲を明確にするために、曲線 x = y^2 と直線 x = y + 2 の交点を求めます。

交点は、x = y^2 = y + 2 の解として求めます。

式を書き直すと、y^2 – y – 2 = 0 です。

これは二次方程式の解の公式 y = [-(-1) ± √((-1)^2 – 4·1·(-2))]/(2·1) を使います。

計算すると、y = [1 ± √(1 + 8)]/2 = [1 ± 3]/2 となります。

したがって、y = (1 + 3)/2 = 2、y = (1 – 3)/2 = -1 です。

曲線と直線の間の面積は、横方向に積分する場合、上の関数から下の関数を引きます。ここでは x を y の関数として積分します。

直線 x = y + 2 が曲線 x = y^2 より右側になるので、面積 A は次のようになります。

A = ∫_{y=-1}^{y=2} [(y + 2) – (y^2)] dy

積分を順に計算します。

∫_{-1}^{2} (y + 2 – y^2) dy = ∫_{-1}^{2} (-y^2 + y + 2) dy

積分すると、∫(-y^2) dy = -y^3/3、∫y dy = y^2/2、∫2 dy = 2y です。

したがって、原始関数は -y^3/3 + y^2/2 + 2y となります。

上限 y = 2 を代入。

– (2^3)/3 + (2^2)/2 + 2·2 = -8/3 + 4/2 + 4 = -8/3 + 2 + 4 = -8/3 + 6 = 10/3

下限 y = -1 を代入。

– (-1)^3/3 + (-1)^2/2 + 2·(-1) = -(-1)/3 + 1/2 – 2 = 1/3 + 1/2 – 2 = (2/6 + 3/6) – 2 = 5/6 – 2 = -7/6

上限 – 下限 = 10/3 – (-7/6) = 10/3 + 7/6 = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2

以上の手順により、曲線 x = y^2 と直線 x = y + 2 で囲まれた部分の面積は 9/2 であることが確認できました。積分の手順を丁寧に追うことで、途中での混乱も避けられます。