三次式 x³-3x-2 の因数分解をステップごとに解説

三次式 x³-3x-2 の因数分解は、一見難しそうに見えますが、順を追って考えると理解しやすくなります。この記事では、なぜ解が (x-2)(x+1)² になるのかを丁寧に解説します。

ステップ1: 有理根の候補を探す

三次式の因数分解の基本は、有理根定理を使って整数解を見つけることです。係数が整数の場合、定数項 -2 の因数（±1, ±2）が根の候補になります。

候補を順に代入して確認します。

x=1 の場合: 1³ -3*1 -2 = 1-3-2 = -4 ≠ 0

x=-1 の場合: (-1)³ -3*(-1) -2 = -1 +3 -2 = 0 → 根が見つかりました。

x=2 の場合: 2³ -3*2 -2 = 8-6-2=0 → もう一つの根も見つかります。

根が x=2 と x=-1 であることがわかったので、因数は (x-2) と (x+1) です。しかし、x=-1 が重根であるか確認するために、残りの二次式を割ってみます。

x³-3x-2 ÷ (x-2) = x² + 2x +1 = (x+1)²

したがって、最終的な因数分解は (x-2)(x+1)² となります。

三次式 x³-3x-2 は、まず有理根を試すことで因数を見つけ、その後長除法で残りの二次式を因数分解する手順で解けます。このステップを理解すれば、他の三次式も同様に因数分解できるようになります。