高校数学や大学入試でよく出題される、パラメータを用いた座標の動く範囲の問題は、論理的思考と式の操作力を養う良い演習になります。この記事では、与えられた条件tとsが0から1の範囲で動くときの座標(x,y)の動く範囲を不等式で表す方法について解説します。
問題の設定
今回の問題では、次のように定義されています。
- 0 < t < 1
- 0 < s < 1
- x = t + s
- y = ts + (1 / t)
この条件の下で、(x, y)が動く範囲を不等式で表すことが求められます。
xの範囲の求め方
x = t + s なので、tとsが0から1の範囲にあることから、xの最小値は0 + 0 = 0、最大値は1 + 1 = 2です。
したがって、xの動く範囲は0 < x < 2となります。実際にはtやsが0や1にはならないので、厳密には0 < x < 2です。
yの範囲の分析
y = ts + (1 / t) は、tが小さいほど1/tが大きくなるため、yの値の下限と上限を求めるにはtとsの組み合わせを考える必要があります。
例えば、tが1に近いと1/t ≈ 1で、sが0から1なのでy ≈ s + 1となり、最小値は1、最大値は2に近くなります。一方でtが0に近いと1/tが大きくなるのでyは大きくなります。
不等式で表す方法
一般的に、yをxの関数として表現するためには、s = x – tを代入してy = t(x – t) + (1 / t) = -t^2 + xt + (1 / t)の形に変形します。
この式を解析的に扱うことで、xとyの関係を不等式として表現できます。具体的には、0 < t < 1の範囲でyの最大値と最小値を求め、yの範囲をxに応じた不等式で表すことが可能です。
入試問題としての出典
このタイプの問題は、多くの国公立大学や難関私立大学で出題される形式で、特にパラメータを用いた座標問題は、東京大学・京都大学などの理系入試で見られることがあります。
過去問を参照することで、類題の解法や不等式への整理方法を理解することができます。
まとめ
与えられた0 < t < 1、0 < s < 1の条件下で、x = t + sの範囲は0 < x < 2となり、y = ts + (1/t)の範囲はtの値によって変化します。
不等式で表す際には、s = x – tを代入してyをtの式に変形し、tの範囲で最大値・最小値を求めることで(x,y)の動く範囲を明確にすることができます。
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