接線と動径の角度条件から導く曲線の求め方

数学では、曲線上の点Pにおける接線や原点を通る動径の角度関係から曲線を求める問題があります。ここでは、接線がx軸となす角をa、動径OPがx軸となす角をbとし、条件a=2bを満たす曲線の求め方を解説します。

角度の関係式の設定

接線の角度aと動径の角度bは、傾きとしてtanを用いて表現できます。接線の傾きはy’ = dy/dx = tan a、動径の傾きはy/x = tan bです。

条件a=2bより、tan a = tan 2b = 2 tan b / (1 – tan² b)。ここでtan b = y/xを代入すると、dy/dx = 2(y/x) / (1 – (y/x)²)となります。

dy/dx = 2(y/x) / (1 – (y/x)²) の式から変数分離を行います。u = y/x と置くと、y = ux ⇒ dy/dx = u + x du/dx。

代入すると u + x du/dx = 2u / (1 – u²) となり、x du/dx = 2u / (1 – u²) – u = (2u – u + u³) / (1 – u²) = u(1 + u²)/(1 – u²) が得られます。

x du/dx = u(1 + u²)/(1 – u²) より、dx/x = (1 – u²)/(u(1 + u²)) du。

部分分数分解をすると、(1 – u²)/(u(1 + u²)) = 1/u – 2u/(1 + u²) となります。これを積分すると、∫dx/x = ∫(1/u – 2u/(1 + u²)) du = ln|x| = ln|u| – ln|1 + u²| + C。

式を整理すると、ln|x| + ln|1 + u²| – ln|u| = C ⇒ ln|x(1 + u²)/u| = C。

指数関数にすると x(1 + (y/x)²)/(y/x) = x(1 + y²/x²)/(y/x) = x(x² + y²)/(xy) = (x² + y²)/y = K（定数）となります。よって曲線の方程式は x² + y² = Ky となります。

接線と動径の角度がa=2bとなる曲線は、最終的に x² + y² = Ky の形で表されます。微分方程式を立てて変数分離・積分を行うことで、角度条件から曲線を導くことができます。