絶対値記号内の多項式の2乗を正しく展開する方法

数学で絶対値記号の中に多項式が入った場合、その2乗の展開方法に戸惑うことがあります。基本的には絶対値の性質と二乗の性質を組み合わせることで簡単に処理できます。

絶対値と二乗の基本的性質

絶対値の定義より、任意の実数 x に対して |x| ≥ 0 が成り立ちます。また、二乗の性質により、(x)^2 ≥ 0 が常に成り立ちます。

さらに重要な関係として、次が成立します。
(|x|)^2 = x^2

この性質を理解すると、絶対値の中の多項式も二乗して展開可能です。

例えば、|a + b|^2 の場合、絶対値の二乗は単純に展開しても良いことになります。

|a + b|^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

絶対値を残す必要はなく、内部の多項式を通常の展開式として計算できます。

|x + y – z|^2 の場合も同様です。

|x + y – z|^2 = (x + y – z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy – 2xz – 2yz

このように、絶対値内の多項式は二乗することで符号の影響を含めて正確に展開できます。

絶対値を残したまま二乗すると、自動的に負の値が正に変換されるため、符号を考慮する必要はありません。ただし、絶対値を外して直接展開する場合は、二乗する前に符号を確認する必要があります。

例えば、|x – y|^2 = (x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 と展開可能です。

絶対値記号の中の多項式を二乗するときは、基本的に絶対値の二乗 = 内部の二乗として扱えば展開できます。
ステップとしては、(1) 絶対値を気にせず二乗、(2) 通常の多項式展開を行う、(3) 必要に応じて簡略化する、です。これにより、計算を簡単に正確に行うことができます。