確率・組合せで使われる「!（階乗）」の意味と計算方法

確率や組合せの問題で「5!」や「4!」のような表記を見かけますが、この「!」は階乗を意味しています。階乗は数の順列や組合せを考える上で非常に重要な計算記号です。

階乗とは何か

n!（nの階乗）は、1からnまでの整数をすべて掛け合わせた値です。つまり、5! = 5×4×3×2×1 = 120です。階乗は、n個の異なるものを並べる場合の順列の総数として使われます。

例えば、3人を一列に並べる場合、3! = 3×2×1 = 6通りの並べ方があります。

階乗の確率・組合せでの使い方

順列では、n個のものからr個を選んで並べる場合に、nPr = n! / (n-r)! という式が使われます。ここで、階乗が並べ方の数を数える重要な役割を果たしています。

組合せでは、n個からr個を選ぶ場合に nCr = n! / (r!(n-r)!) が使われます。階乗は、順列や重複を考慮した計算に欠かせない概念です。

具体例：5! × 4! の意味

5! × 4! は、例えば5人のチームから選んだ人を順番に並べ、その後4人の別グループの並べ方を掛け合わせる場合に現れます。それぞれの並べ方を独立に計算して掛け算することで、全体の総数を求めます。

このように「!」は、順列や組合せで「何通りの並べ方・選び方があるか」を計算するための記号です。

階乗のまとめ

階乗は1からその数までの整数を掛け合わせた値で、順列・組合せ・確率計算で必須の概念です。「5!」は5×4×3×2×1、「4!」は4×3×2×1を表し、組み合わせや並べ方の総数を求める際に使われます。掛け算で複数の階乗が出てきた場合は、異なる並べ方の総数を掛け算で組み合わせていると理解すると分かりやすいです。